Permutations II

Question

• leetcode: Permutations II | LeetCode OJ
• lintcode: (16) Permutations II

Problem Statement

Given a list of numbers with duplicate number in it. Find all unique permutations.

Example

For numbers [1,2,2] the unique permutations are:

[

    [1,2,2],

    [2,1,2],

    [2,2,1]

]
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Challenge

Do it without recursion.

题解1 - backtracking

在上题的基础上进行剪枝，剪枝的过程和 Unique Subsets 一题极为相似。为了便于分析，我们可以先分析简单的例子，以 $$[1, 2_1, 2_2]$$ 为例。按照上题 Permutations 的解法，我们可以得到如下全排列。

1. $$[1, 2_1, 2_2]$$
2. $$[1, 2_2, 2_1]$$
3. $$[2_1, 1, 2_2]$$
4. $$[2_1, 2_2, 1]$$
5. $$[2_2, 1, 2_1]$$
6. $$[2_2, 2_1, 1]$$

从以上结果我们注意到1和2重复，5和3重复，6和4重复，从重复的解我们可以发现其共同特征均是第二个 $$2_2$$ 在前，而第一个 $$2_1$$ 在后，因此我们的剪枝方法为：对于有相同的元素来说，我们只取不重复的一次。嗯，这样说还是有点模糊，下面以 $$[1, 2_1, 2_2]$$ 和 $$[1, 2_2, 2_1]$$ 进行说明。

首先可以确定 $$[1, 2_1, 2_2]$$ 是我们要的一个解，此时list为 $$[1, 2_1, 2_2]$$, 经过两次list.pop_back()之后，list为 $$[1]$$, 如果不进行剪枝，那么接下来要加入list的将为 $$2_2$$, 那么我们剪枝要做的就是避免将 $$2_2$$ 加入到list中，如何才能做到这一点呢？我们仍然从上述例子出发进行分析，在第一次加入 $$2_2$$ 时，相对应的visited[1]为true(对应 $$2_1$$)，而在第二次加入 $$2_2$$ 时，相对应的visited[1]为false，因为在list为 $$[1, 2_1]$$ 时，执行list.pop_back()后即置为false。

一句话总结即为：在遇到当前元素和前一个元素相等时，如果前一个元素visited[i - 1] == false, 那么我们就跳过当前元素并进入下一次循环，这就是剪枝的关键所在。另一点需要特别注意的是这种剪枝的方法能使用的前提是提供的nums是有序数组，否则无效。

C++

class Solution {
public:
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: A list of unique permutations.
     */
    vector<vector<int> > permuteUnique(vector<int> &nums) {
        vector<vector<int> > ret;
        if (nums.empty()) {
            return ret;
        }

        // important! sort before call `backTrack`
        sort(nums.begin(), nums.end());
        vector<bool> visited(nums.size(), false);
        vector<int> list;
        backTrack(ret, list, visited, nums);

        return ret;
    }

private:
    void backTrack(vector<vector<int> > &result, vector<int> &list, \
                   vector<bool> &visited, vector<int> &nums) {
        if (list.size() == nums.size()) {
            result.push_back(list);
            // avoid unnecessary call for `for loop`, but not essential
            return;
        }

        for (int i = 0; i != nums.size(); ++i) {
            if (visited[i] || (i != 0 && nums[i] == nums[i - 1] \
                && !visited[i - 1])) {
                continue;
            }
            visited[i] = true;
            list.push_back(nums[i]);
            backTrack(result, list, visited, nums);
            list.pop_back();
            visited[i] = false;
        }
    }
};
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源码分析

Unique Subsets 和 Unique Permutations 的源码模板非常经典！建议仔细研读并体会其中奥义。

后记：在理解 Unique Subsets 和 Unique Permutations 的模板我花了差不多一整天时间才基本理解透彻，建议在想不清楚某些问题时先分析简单的问题，在纸上一步一步分析直至理解完全。

题解2 - 字典序

Permutation 的题使用字典序的做法其实更为简单，且为迭代的解法，效率也更高。代码和之前的 Permutations 那道题一模一样。

Java

class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: A list of unique permutations.
     */
    public ArrayList<ArrayList<Integer>> permuteUnique(ArrayList<Integer> nums) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        if (nums == null || nums.size() == 0) return result;

        // deep copy(do not change nums)
        List<Integer> perm = new ArrayList<Integer>(nums);
        // sort first!!!
        Collections.sort(perm);

        while (true) {
            // step0: add perm into result
            result.add(new ArrayList<Integer>(perm));

            // step1: search the first num[k] < num[k+1] backward
            int k = -1;
            for (int i = perm.size() - 2; i >= 0; i--) {
                if (perm.get(i) < perm.get(i + 1)) {
                    k = i;
                    break;
                }
            }
            // if current rank is the largest, exit while loop
            if (k == -1) break;

            // step2: search the first perm[k] < perm[l] backward
            int l = perm.size() - 1;
            while (l > k && perm.get(l) <= perm.get(k)) l--;

            // step3: swap perm[k] with perm[l]
            Collections.swap(perm, k, l);

            // step4: reverse between k+1 and perm.length-1;
            reverse(perm, k + 1, perm.size() - 1);
        }

        return result;
    }

    private void reverse(List<Integer> nums, int lb, int ub) {
        for (int i = lb, j = ub; i < j; i++, j--) {
            Collections.swap(nums, i, j);
        }
    }
}
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源码分析

见前一题，略。

复杂度分析

略

Reference

• Permutation II | 九章算法